スパイラル・ブギウギ
問．以下の数から何を想像しますか？
（１）１９６４、１９９８、２０２０
（２）７、１２、２４、６０、３６５
（３）１９１４、１９１８、１９３９、１９４５
（４）２６２、８６８
（５）６３４、３７７６、８８４８
（６）１９９９、２００３、２０１１、２０１７、２０２７
（７）２、３、５、１１、１７、４１
日々の生活はなんと数に埋め尽くされ、そして数に翻弄されているのだろうか。数学嫌いは世の中に多いと思うが否応なしに数を使っている。１の次は２でその次は３と数え上げる。誰がやっても同じ結果となる。幼い頃に数え上げる能力を身につけ誰もが納得しそれを信じている。そして、なんでも数を用いて表す。物の価値、年収、貯蓄、血圧、成績、点数、人口など、あげ出したら数えきれない。数自体には意味は無いが、数のない世界を想像することは不可能に近い。数により物事を比較し、統計をとり分析し、過去を検証し、そして未来を予測する。分かりやすく利用しやすい数だが、それでは、どれだけ数自体のことを知っているのだろうか？
「数とは何であるか？」一見するとナンセンスな問いは「私とは何であるか？」と同様に混乱を招く。数を知ろうとすると直ぐに魅力や魔力に取り憑かれる。その一例として、自分自身と１しか割り切れない数である素数にどれだけの数学者が一生を捧げたのだろう。この作品は、素数を用いて数の魅力や魔力を絵によって表層部分だけでもその本性を表現出来ないか試みたものである。と言ってもアイデアは私のものではなく次に紹介する３人によるものである。
１人目はスタニスワフ・ウラムである。ウラムはポーランド出身の数学者である。ユダヤ人家庭の生まれで第二次世界大戦中にナチスの迫害を逃れアメリカに亡命した。一緒に逃げた弟以外の家族はホロコーストで亡くなったとされている。亡命後、原子爆弾を開発・製造するために科学者、技術者を総動員した「マンハッタン計画」に参加し、戦後も引き続き水素爆弾の開発に携わりその基本機構を創案した人である。少し長いが、ダグラス・Ｒ・ホフスタッター著『メタマジック・ゲーム』でウラム について書かれた箇所を引用する。
第二次世界大戦中あるいは直後、多くの偉大な数学者や物理学者がそうであったように、ウラムも軍事プロジェクトに組み入られた。彼がフォン・ノイマンと一緒に発明したモンテカルロ法は、水素爆弾の開発にとってキーとなった。これは難解に定義された集合の濃度と奇妙に定義された空間の次元についての研究を引き起こし、彼は連鎖反応の統計的モデル化の正確な方法に行きあたった。彼がこういう仕事をしていた時代は、人間性から起こるジレンマは今日ほどクリアでなかった。私たちが前例のない破滅的危機へゆっくり歩んでいることを、アインシュタインが警告したはずだが、ほとんどの人はアインシュタインのようなクリアな予見をもてなかった。自分が取りこまれているものの中でその人間がいかに小さいかは人間に関するパラドックスである。スタン・ウラムは大きな集落の中の一匹のアリにすぎなかった。彼の役割はほかのほとんどのアリのより大きかったが、集落をコントロールするほどの力はなかった。人間性と「人類性」は別のものなのだ。 スタン・ウラムほどの善良な人間でも、軍事競争のような邪悪なものの一部に組みいれられることがある。明らかに、ウラムはこういう開発で自分が果たした役割を反省している。同じような位置にありながら、自分の小さな行為がその他大勢の小さな行為と結びついて大きな悲劇をもたらしたことについて気づかない。あるいは気づこうとしない、心のせまい人がなんと多いことか。 私はウラムなような暖かく、洞察力のある人の友人になれたことを誇りに思う。長期的に見て、彼の業績が（あるかもしれない）アルマゲドンのためのものではなく、数学のためのものだったということがはっきりするように期待したい。
１９６３年に長くて退屈な論文発表中に落書きをしている時、ウラム は「ウラムの螺旋」を発見した。その螺旋は単純な規則で１を中心に螺旋状に数を並べていくだけであるが（図１）、螺旋状に並べられた数の内、素数だけに注目してみると斜めあるいは縦横に素数が隣り合って並び直線が浮かび上がってくる。ウラムはコンピュータを用いて、その当時まだ初期段階にあったコンピュータ・グラフィックスを作成した（図２）。ウラムは落書き中にこの直線が現れることを直感で気づいていたであろう。この直線上にある素数はどんなものなのか？ ２人目の登場である。
黒は素数を表し、灰色の濃淡により偶数と奇数を分けた。偶数と奇数は市松模様となる。
１９６４年、科学雑誌「サイエンティフィック・アメリカン」のマーチン・ガードナーのコラム「数学ゲーム」で紹介され、表紙を飾った。その記事によると 65,000 までの螺旋を計算したとある。そこから予想すると 256 × 256 = 65536 で、この図は 401 × 401 なのでもう少し小さいものだったと考えられる。
２人目はレオンハルト・オイラーである。オイラーはウラムから約２００年ほど遡る１８世紀に活躍したスイス出身の数学・天文学者である。その論文の多さは５万ページを超え、その刊行は現在まだ完結していない。オイラーと言えば、人類の至宝である非常に美しい式 eiπ = -1 を発見した人である。 「ウラムの螺旋」に表れた直線はオイラーの発見した素数生成式 f(x) = x2+x+41 と深い関係がある。この式の x に 0,1,2,3...38,39 を入れて計算してみると連続して40個の素数がが現れる。現れた素数を「ウラムの螺旋」に乗せてみたのが図３である。中心付近の黒点がその40個の素数である。数が大きくなるに従い中心から外へ黒点は螺旋状に広がって行く。赤点は式より求められた数で素数でないものである。最初の赤点はxが40の時である。少し式を変えてみると、f(x) = x2 + x + 41 = x (x + 1) + 41 であり、x に 40 を入れて 41 に着目してみると、 40 × (40 + 1) + 41 = 40 × 41 + 41 = (40 + 1) × 41 = 41 × 41 = 412 となり、 41自身同士を掛けた数、つまり41で割り切れるので素数とはならないことがわかる。 40以降はウラムの螺旋に乗せると直線に並ぶ。青点は x が 40 以上で素数となる点である。赤点と青点の数を比べてみると素数となる青点が現れる確率が非常に高いのがわかる。 41の他に高い確率で素数を発生させる数として 11,17,101,137,167 などがある。これらの直線は先の図２の斜めの直線として表れている。最初の問（７）は「オイラーの幸福数」と呼ばれる数で、素数発生式の 41 をこの幸福数に変え、x を0からその数から2を引いた数までを入れて計算すると結果が全て素数となる数である。なお 41 以降で全て素数となる数は存在しない。この作品はこのうっすらと見える直線をわかりやすく見せようと試みた。オイラーの素数生成式を元にプログラムを書き、画像を眺めながら試行錯誤しているうちにある作品が頭に浮かんだ。３人目の登場である。
３人目はオイラーの時代から再び「ウラムの螺旋」が発見される前の第二次世界大戦中まで戻る。その人はピエト・モンドリアンである。モンドリアンはオランダ出身の画家でカンディンスキーらと並び初期の抽象画家とされている。アムステルダム国立アカデミーで美術教育を受けた後、ピカソやスーラのキュビズムに感銘を受けパリに渡り、事物を平面的・幾何学的な形態へ還元する抽象への志向を強めていった。その後、もっと純粋なリアリティの表現を求め「新造形主義」を唱え、宇宙の調和を表現するためには完全に抽象的な芸術が必要であると主張した。極限まで単純化された黒の縦横線のみ、あるいは４色の四角形のみの「コンポジション」と呼ばれる作品を生み出して行く。第二次世界大戦中、戦火を避けるためパリからロンドンに移った後、ウラムと同様に、１９４０年アメリカに亡命しニューヨークに移り住んだ。「ウラムの螺旋」をコンピュータで描いている時、頭に浮かんだ作品が、ニューヨーク時代の代表作「ブロードウェイ・ブギウギ」と未完の遺作となった「ヴィクトリー・ブギウギ」である。１９４３年に肺炎をこじらしてなくなるまでの３年間と短い時間だったがニューヨークの街はモンドリアンに大きな刺激を与えたのだろう。新たな絵画に挑戦し悪戦苦闘する中、ジャズ、特にブギウギに魅了されダンスに興じた。「ブロードウェイ・ブギウギ」はニューヨークの街並みで通りの喧騒やネオンを描いたもの、ブギウギのリズムを描いたもの、地下鉄の路線図を描いたものなど、その知名度と共に様々な説がある。また未完の遺作である「ヴィクトリー・ブギウギ」は正確な線や面を描く彼の作風からすると完成まで程遠いと考えられる。「コンポジション」のシリーズにもあるキャンバスを４５度傾けて描く手法を再度試し、「冷たい抽象」と表される彼の絵画は煮詰まりながらもニューヨークの街のように華やかに新たな展開を踏み出していたのかもしれない。数年前、ニューヨークの交通網の調査で１週間滞在した。一日中、電車やバスに乗り、駅の構内やブロードウェイ、アベニュー、ストリートを歩き回った。その合間にＭｏＭＡにある「ブロードウェイ・ブギウギ」を見に行った。歩き疲れた足でその前に立った。ニューヨークの街の様でもあったがモンドリアンが目指していたのは宇宙の調和を表現する完全な抽象画だと感じた。そして今回、「ウラムの螺旋」をモンドリアンの目指した抽象画として再構成してみようと考えた。
ヴィクトリー・ブギウギ １９４３年未完
「ウラム の螺旋」にうっすら見える直線をどうやって計算するか。直線の一部は密度高く素数が並んでいると思いきや同じ直線上の他の部分は全くなかったりと規則性は見当たらない。並んでいる箇所のみに線を引いてみるより、オイラーの素数発生式との関連性を高めた方が素数に潜む規則性が見えるのではないかと考えた。「スパイラル・ブギウギ」の大きさは３mm方眼紙で縦横３０cm、縦横１０１で１０２０１個の数が描ける。素数発生式で直線となる部分の素数の個数を数え多い順に上位２００本を選んだ。ただし、直線は対角線で区切られているので画面の端は短くなり直線の長さが一定にならない。一定になるよう直線を画面外まで伸ばして素数の個数を数えた。また、２以外の偶数は素数ではないので縦横の直線に素数が並ぶことはない。そのため斜めの直線に比べて素数の数が少なくなり、縦横線は上位２００本にほとんど入らない。なるべく恣意性を排除し素数のそのまま表現したかったが、絵としてのバランスを考え縦横線の場合は素数の個数を１．６倍して上位２００本に入るよう工夫した。プログラムの計算結果を方眼紙にプロットしていく。規則性を持った模様を手書きで描き写す場合、最初は間違えることがあるが次第に慣れてきて間違えなくなってくるが、今回は全然慣れず間違えを何度も繰り返した。どのように直線が並ぶのかその直線に素数がどのように並ぶのか描きながら観察した。そこに規則性は見出せなくても、例えば、人間が作った禅寺の庭、山間部の棚田、街の風景など、また、人間の作意の入らない山々の稜線や夜空の星々や鉱物の結晶など、そこに美意識を刺激するような風景がなにかしら見えてくるのではないかと観察した。そしてモンドリアンが目指した宇宙の調和を表現する抽象画とはどのようなものだったのか想像しながら描いた。間違えずに絵が完成したものの点の大きさや線の太さや色など細部に気に入らない部分が出てきて３枚描いた。デジタル画像をプリントアウトすれば殆ど同じような絵が直ぐにできるのだが、身体を使い試行錯誤しながら時間をかけて描くとその前と後で、感覚というか何かが変わっていることに気がつく。
「ウラム の螺旋」の数を格子状の平面に螺旋状に並べる規則は理解できる。素数の規則（定義）も理解できる。しかし、その規則から描き出される風景は理解できない。このような経験は世の中にはたくさんある。類似しているものとして囲碁があげられる。囲碁には規則がある。その規則から繰り広げられるゲームの奥深さは「囲碁の宇宙」と呼ばれるほど深いし広い。長い時間をかけて定石が出来上がってきたが、最近ではウラム の発明したモンテカルロ法とディープラーニング（主にCNN、Convolutional neural network）を組み合わせたAI（Artificial intelligence）同士を対戦させ人間が生み出した定石を覆すような新手が発見されている。逆に、法律のように、ある意図を持ってその法律がある社会を想像しそれが善いとして、社会に規則を定めている。善悪の判断をするために様々なケースを議論し理解する。善悪は時と共に変わるし規則により新たな問題も発生する。そして修正する。いづれにしてもその規則が作り出す世界を理解することは難しい。理解するとはどういうことなのだろうか？
数を計算するだけの道具である計算機から始まったコンピュータの短い歴史は会計や国勢調査の計算地獄から人間を解放し、現在は様々な社会の問題を解消し様々な娯楽を作り出し人間の幸せの多くを作り出しているようにも思える。本当にそうなのか？ 世界のあまりにも複雑で理解不能なものをそのまま捉えるのではなく、そこに潜む原理を捉えたいという欲求は消すことができない。数は人間が編み出した恣意的な道具にすぎず、その道具を使って原理を捉えることはできない、という考えが頭の片隅にくすぶっている。
